Thuyết tương đối tổng quát đề xuất ý tưởng miêu tả các hiện tượng vật lý bằng một tập hợp các sự kiện, tạo thành continuum bốn chiều là không thời gian. Khái niệm toán học phù hợp nhất để đặc trưng cho không thời gian đó là một đa tạp khả vi, M {\displaystyle {\mathcal {M}}} , một khái niệm kết hợp giữa những khái niệm của không gian tô pô và tính khả vi được. Tức là, khi nói đến không thời gian bằng tập hợp các sự kiện, là một không gian tô pô, chúng ta đang cung cấp thông tin về bằng cách nào mà những vùng khác nhau của continuum này được liên hệ với nhau. Hơn nữa, khi đã trở lên rõ ràng lúc chúng ta nói về nguyên lý tương đương, thuyết tương đối rộng đòi hỏi rằng các sự kiện khác nhau của không thời gian cho phép các lân cận địa phương không giao nhau (rời rạc). Từ đây, không gian tô pô cần thiết phải là không gian tô pô Hausdorff. Ngoài cấu trúc tô pô, chúng ta cần trang bị cho không thời gian một cấu trúc vi phân thông qua phép tham số hóa liên tục bằng các tọa độ được gắn cho mỗi sự kiện. Những cách đặt tham số hóa này được thực hiện thông qua các hàm số của lớp C ℓ {\displaystyle C^{\ell }} với ℓ ≥ 2 {\displaystyle \ell \geq 2} , mà ánh xạ lân cận địa phương của mỗi sự kiện vào R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} . Do vậy một đa tạp khả vi là một không gian tô pô Hausdorff vi phôi địa phương vào R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Ví dụ đơn giản về đa tạp đó là bề mặt của một hình cầu ba chiều ("mặt cầu 2 chiều") hoặc bất kỳ một siêu mặt m chiều nào trong không gian n chiều với m ≤ n {\displaystyle m\leq n} .[1]

Có rất nhiều sách và bài viết thảo luận về định nghĩa và tính chất của không gian tô pô và của đa tạp, chẳng hạn Franken 2011, Ch 2Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFFranken2011 (trợ giúp) và De Felice & Clarke 1992Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFDe_FeliceClarke1992 (trợ giúp). Cho những mục đích ứng dụng chúng ta có thể coi M {\displaystyle {\mathcal {M}}} là "tập hợp chứa các sự kiện được tham số hóa", những thứ tạo nên không thời gian bốn chiều, và các tham số của chúng là những hàm khả vi tới một số bậc nhất định.

Số các tham số độc lập cần thiết để định ra một sự kiện trong M {\displaystyle {\mathcal {M}}} chính là số chiều của đa tạp và cách chọn những tham số này sẽ biểu diễn cách chọn hệ tọa độ cần thiết để phủ đa tạp, và có vô số cách chọn như thế. Ví dụ, hệ tọa độ sử dụng kinh độ và vĩ độ để xác định vị trí của điểm trên bề mặt Trái Đất. Khi áp dụng, chúng ta cần thiết định nghĩa một quy tắc gán tương ứng một điểm của đa tạp M {\displaystyle {\mathcal {M}}} , tức là sự kiện, vào không gian thực n chiều R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Quy tắc này gọi là phép ánh xạ và cách chọn hệ tọa độ tương ứng sẽ phủ một phần hoặc toàn bộ đa tạp không thời gian. Các điểm lưu ý:

1. Ánh xạ thảo luận ở trên có thể coi là sự gán một - một các điểm trên đa tạp với các điểm của không gian Euclid với số chiều thích hợp. Sự tương ứng này là có ích nhưng phải cẩn thận khi áp dụng. Cụ thể hơn, nó nhấn mạnh rằng ít nhất trên cục bộ (hay địa phương) đa tạp nhìn giống như không gian Euclid.[2] Tuy nhiên nó cũng ẩn chứa thực tế rằng tô pô toàn cục của đa tạp có thể rất khác so với tô pô Euclid. Chẳng hạn đa tạp là bề mặt của hình vòng xuyến: cả bề mặt lẫn tô pô toàn cục của nó khác hẳn so với không gian Euclid, nhưng có thể ánh xạ cục bộ một diện tích nhỏ trên bề mặt vào không gian Euclid, như mặt phẳng tiếp tuyến với một điểm trong diện tích này.
2. Trong khi có vô hạn cách chọn hệ tọa độ để phủ một đa tạp, không phải cách nào cũng cho phương án tốt. Một số hệ tọa độ trong chúng có thể suy biến và khi phân tích toán học nghiệm của phương trình trường Einstein chứa đựng hệ tọa độ cho phép làm nổi bật nhất ý nghĩa vật lý của nghiệm. Lấy ví dụ lần nữa về hệ tọa độ cầu ( θ , ϕ ) {\displaystyle (\theta ,\phi )} trên mặt cầu 2 chiều. Rõ ràng hệ tọa độ này suy biến tại hai cực của mặt cầu vì có thể ánh xạ những tập vô hạn các giá trị, ví dụ khi θ = 0 , π {\displaystyle \theta =0,\pi } và ϕ ∈ [ 0 , 2 π ] {\displaystyle \phi \in [0,2\pi ]} .
3. Mỗi hệ tọa độ bao phủ một vùng nhất định của không thời gian gọi là mảnh hay bản đồ, và hai bản đồ có thể có miền giao nhau hoặc không. Atlas của đa tạp là bất kỳ những phép hợp các bản đồ sao cho phép hợp này bao phủ toàn bộ đa tạp.
4. Như đã nêu ở trên, mộ tính chất cơ bản của đa tạp trong thuyết tương đối rộng đó là chúng có tính khả vi, nghĩa là ánh xạ địa phương từ đa tạp vào R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} phải khả vi. Mặt cầu hai chiều là đa tạp khả vi trong khi hình nón thì không, do nó không khả vi tại đỉnh nón vì không tồn tại ánh xạ khả vi từ điểm này vào R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .

Hệ tọa độ

Ý tưởng về không thời gian (tập hợp chứa mọi sự kiện), như là một đa tạp (không gian phủ bởi các hệ tọa độ), là rất hấp dẫn từ quan điểm hình học, nhưng cũng phải là nguồn để đề cập đến từ quan điểm vật lý học, vì sự lựa chọn tùy ý hệ tọa độ có thể đưa đến việc làm mất các thông tin vật lý. Tuy vậy, đây là một lập luận không đúng và các phép đo phải là độc lập với hệ tọa độ, tức là, các phép đo sẽ cho cùng một kết quả trong mọi hệ tọa độ được lựa chọn. Tương tự, vẫn có thể dẫn ra được các phương trình độc lập với hệ tọa độ khi không thời gian được coi là một đa tạp.

Bước đầu tiên để học quá trình này đó là làm quen với các đối tượng cơ bản của một đa tạp, như đường cong, đại lượng vô hướng và vectơ, và cách chúng biến đổi như thế nào khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác. Kể từ đây chúng ta giả sử rằng M {\displaystyle {\mathcal {M}}} có bốn chiều (ba chiều không gian và một chiều thời gian), nhưng việc tổng quát hóa các tính chất của đa tạp lên đa tạp N chiều là trực tiếp.

Xét không thời gian được phủ bởi hai hệ tọa độ,[3] { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}} và { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}} [4] hoặc tương đương xét hai ánh xạ khác nhau Φ {\displaystyle \Phi } và Φ ′ {\displaystyle \Phi '} của đa tạp khả vi M {\displaystyle {\mathcal {M}}} vào R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} . Mỗi điểm P trong M {\displaystyle {\mathcal {M}}} do đó được biểu diễn bằng hai tập hợp khác nhau mỗi tập chứa bốn phần tử, { x P μ } {\displaystyle \{x_{P}^{\mu }\}} và { x P μ ′ } {\displaystyle \{x_{P}^{\mu '}\}} . Phép biến đổi tọa độ { x μ } → { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}\rightarrow \{x^{\mu '}\}} tại điểm P được biểu diễn bằng bốn hàm số đơn trị, liên tục và khả vi f μ {\displaystyle f^{\mu }} sao cho

mà ở đây ký hiệu x có bốn tọa độ x μ {\displaystyle x^{\mu }} ám chỉ những đối tượng bôi đậm thuộc về M {\displaystyle {\mathcal {M}}} . Bởi vì đa tạp là khả vi, do vậy phép biến đổi tọa độ không chỉ đúng tại điểm P, tức là

Hàm f cũng phải khả nghịch, do đó hàm f−1 là phép biến đổi tọa độ nghịch đảo { x μ ′ } → { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}\rightarrow \{x^{\mu }\}} và

với phép toán kết hợp f ∘ f − 1 {\displaystyle f\circ f^{-1}} trở thành đồng nhất, nghĩa là x μ = x μ ( x μ ′ ) = x μ ( x μ ′ ( x μ ) ) {\displaystyle x^{\mu }=x^{\mu }(x^{\mu '})=x^{\mu }(x^{\mu '}(x^{\mu }))} .

Ví dụ coi mặt phẳng là một đa tạp hai chiều với hai hệ tọa độ { x μ } = ( x , y ) {\displaystyle \{x^{\mu }\}=(x,y)} và { x μ ′ } = ( r , θ ) {\displaystyle \{x^{\mu '}\}=(r,\theta )} do vậy

và nếu áp dụng hàm hợp f ∘ f − 1 {\displaystyle f\circ f^{-1}} đối với tập tọa độ thứ nhất ta thu được đồng nhất thức x = ( x 2 + y 2 ) 1 2 c o s [ t a n − 1 ( y / x ) ] = x . {\displaystyle x=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}cos[tan^{-1}(y/x)]=x.}

Khai thác tính khả vi của đa tạp, chúng ta có thể lấy vi phân của tọa độ x' theo x và thu được ma trận biến đổi

với định thức

là định thức Jacobi (hay Jacobian) của biến đổi tọa độ f {\displaystyle f} trong (2). Nếu J' khác 0 khắp nơi khi đó phương trình (2) sẽ có nghiệm và chúng ta nhận được phép biến đổi ngược (3). Ngược lại, nếu J' = 0 tại một điểm, ta nói biến đổi trở thành kỳ dị tại điểm đó. Tương tự ta có thể lấy vi phân tọa độ x theo x' và thu được ma trận biến đổi ngược

Đến đây, sử dụng quy tắc dây chuyền đối với đạo hàm riêng, sẽ không khó để chứng minh được rằng hai ma trận (5) và (7) là nghịch đảo của nhau, tức là

với Λ ′ , Λ , I {\displaystyle \mathbf {\Lambda ',\Lambda } ,\mathbb {I} } lần lượt là các ma trận tương ứng của Λ μ ′ μ , Λ μ μ ′ {\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\mu },\Lambda ^{\mu }{}_{\mu '}} và ma trận đơn vị. Hệ quả trực tiếp của (8) đó là định thức Jacobi của hai ma trận là nghịch đảo của nhau, tức là J' = 1/J.

Ví dụ ma trận biến đổi giữa hai hệ tọa độ trong (4) là

và

với J ′ = 1 / ( x 2 + y 2 ) 1 / 2 = 1 / J . {\displaystyle J'=1/(x^{2}+y^{2})^{1/2}=1/J.}

Đường cong (curve) và quỹ đạo (path)

Sau khi đã giới thiệu khái niệm hệ tọa độ và biến đổi tọa độ, bây giờ chúng ta xét tới đối tượng đơn giản nhất trong đa tạp M {\displaystyle {\mathcal {M}}} mà sẽ dẫn tới định nghĩa tenxơ.

Xét trong không thời gian S {\displaystyle {\mathcal {S}}} một chuỗi các sự kiện P 1 , . . . , P n {\displaystyle P_{1},...,P_{n}} mà được liên hệ với nhau theo những cách nào đó. Như đã nói ở mục Khái niệm không thời gian, chúng ta có thể liên hệ hoặc xếp thứ tự các sự kiện và sẽ thu được tuyến thế giới (worldline) khi tham số xếp thứ tự là tọa độ thời gian t. Bây giờ chúng ta mở rộng ý tưởng và xét các sự kiện mà không nhất thiết phải liên hệ thông qua thời gian, mà thông qua một tham số tổng quát hơn là λ {\displaystyle \lambda } . Đối tượng thu được gọi là đường cong (curve) C {\displaystyle {\mathcal {C}}} và là ánh xạ từ một đoạn I = [ a , b ] ∩ R {\displaystyle I=[a,b]\cap \mathbb {R} } vào một tập hợp các điểm có tọa độ { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}} tức là

Rõ ràng rằng, cùng một tập hợp các điểm trong S {\displaystyle {\mathcal {S}}} có thể được tham số hóa vô hạn lần khi thay đổi cách lựa chọn tham số λ {\displaystyle \lambda } . Cách xem xét này giúp chúng ta phân biệt với khái niệm quỹ đạo (path) - như là tập hợp các sự kiện trong S {\displaystyle {\mathcal {S}}} , so với đường cong đi qua các sự kiện này. Trong khi quỹ đạo là một đối tượng nội tại trong không thời gian S {\displaystyle {\mathcal {S}}} thì đường cong lại phụ thuộc vào cả cách tham số hóa nó cũng như việc chọn hệ tọa độ để lập bản đồ (chart) cho đa tạp M {\displaystyle {\mathcal {M}}} . Khi thay đổi tham số λ {\displaystyle \lambda } sẽ dẫn tới đường cong mới đi qua cùng quỹ đạo trong S {\displaystyle {\mathcal {S}}} và cùng hệ tọa độ biểu diễn trong M {\displaystyle {\mathcal {M}}} (trong trường hợp này nó được gọi là ảnh). Tuy nhiên, khi thay đổi hệ tọa độ sẽ đem lại một đường cong mới đi qua cùng một quỹ đạo trong S {\displaystyle {\mathcal {S}}} , nhưng rõ ràng nó sẽ không chứa cùng những tọa độ biểu diễn trong M {\displaystyle {\mathcal {M}}} . Nói cách khác, khái niệm quỹ đạo mang ý nghĩa cơ bản hơn so với khái niệm đường cong và ảnh, chúng ta có thể xây dựng hai đường cong:

và

sao cho chúng chứa cùng một quỹ đạo trong S {\displaystyle {\mathcal {S}}} , với C {\displaystyle {\mathcal {C}}\!} và C ′ {\displaystyle {\mathcal {C}}'} có cùng ảnh, nhưng C {\displaystyle {\mathcal {C}}} và L ′ {\displaystyle {\mathcal {L}}'} có ảnh khác nhau.

Cuối cùng, chúng ta có thể mở rộng khái niệm đường cong cho một mặt với hai tham số,

Mặt được gọi là siêu mặt của đa tạp nếu số tham số cần thiết để miêu tả nó bằng số chiều của đa tạp trừ đi một, ví dụ siêu mặt 3 chiều đối với không thời gian bốn chiều.

Vectơ tiếp tuyến

Tất cả những khái niệm đã giới thiệu về các đường cong và mặt có thể được coi như là những công cụ cơ bản để định nghĩa khái niệm rất quan trọng và hữu ích, đó là vectơ tiếp tuyến (tangent vector) với đường cong C {\displaystyle {\mathcal {C}}} . Nếu coi đường cong là tập hợp các điểm với mỗi điểm được đánh dấu bởi một bộ các tọa độ sắp thứ tự bằng một tham số λ, thì vectơ tiếp tuyến là khái niệm dùng để diễn giải sự thay đổi tọa độ như thế nào dọc theo đường cong này. Nói cách khác, khi cho trước một hệ tọa độ { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}} trong đa tạp M {\displaystyle {\mathcal {M}}} và một đường cong C : { x μ ( λ ) , λ ∈ I } {\displaystyle {\mathcal {C}}\!:\{x^{\mu }(\lambda ),\lambda \in I\}} , vectơ tiếp tuyến V P {\displaystyle {\boldsymbol {V}}_{P}} tại điểm P dọc cung C {\displaystyle {\mathcal {C}}} được định nghĩa là tập hợp gồm bốn tọa độ

Chú ý rằng tại mỗi điểm P chỉ có duy nhất một vectơ tiếp tuyến với đường cong và thậm chí hai đường cong có thể có chung một vectơ tiếp tuyến tại điểm chung P, và hai đường này sẽ có thể có một số điểm chung ở một số nơi (hai đường khác nhau) hoặc hoàn toàn đồng nhất giống nhau. Vì điểm P là bất kỳ, do vậy có thể viết biểu thức tổng quát cho định nghĩa của vectơ tiếp tuyến V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} cho đường cong C {\displaystyle {\mathcal {C}}} là

Chúng ta nên phân biệt giữa vectơ là đối tượng hình học, viết là V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} , và cách biểu diễn nó trong một hệ tọa độ cụ thể, mà trong trường hợp này chúng ta nói đến các thành phần tọa độ của nó V μ {\displaystyle V^{\mu }} .Sự quan trọng của biểu thức (16) là nó cho phép chúng ta có khả năng định nghĩa một đại lượng hình học theo các tính chất của phép biến đổi đối với nó dưới ảnh hưởng của sự thay đổi hệ tọa độ. Quả vậy, chúng ta xét một hệ tọa độ mới { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}} và sử dụng biểu thức (2) để tính toán các thành phần tọa độ của cùng một vectơ tiếp tuyến V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} đối với hệ tọa độ mới này

với phương trình thứ hai đã áp dụng định nghĩa của vi phân

và phương trình cuối cùng (17) có được từ định nghĩa của (16).

Bởi vì cách đặt ký hiệu tốt rất quan trọng và điều này càng có ý nghĩa đặc biệt trong thuyết tương đối rộng, đầu tiên chúng ta có thể viết gọn lại (17) bằng cách áp dụng quy tắc tính tổng do Einstein đặt ra, mà khi ta gặp một chỉ số xuất hiện hai lần điều này sẽ hàm ý việc tính tổng giữa các chỉ số từ 0 đến 3, và thứ hai chúng ta có thể áp dụng cách viết rút ngắn hơn nhờ phương trình (5) cho phép biến đổi ma trận, tức là

Biểu thức (19) cần được giải thích rõ hơn, đầu tiên đó là chỉ số μ {\displaystyle \mu } là chỉ số được tính tổng (hay chỉ số rút gọn-contraction) tức là nó xuất hiện một lần với vai trò là chỉ số trên (phản biến-contravariance) trong V μ {\displaystyle V^{\mu }} và một lần với vai trò là chỉ số dưới (hiệp biến-covariance) trong Λ μ ′ μ {\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\mu }} . Chỉ số này còn được gọi là chỉ số câm (dummy) để phân biệt với chỉ số tự do μ ′ {\displaystyle \mu '} xuất hiện như là một chỉ số không thể thu gọn được ở cả hai vế của phương trình tenxơ (19). Bằng cách kiểm tra số lượng các chỉ số tự do có ở hai vế của phương trình là cách đơn giản nhất, ít nhất về mặt toán học, đó là phương trình tenxơ đã đúng hay chưa (và có thể có nhiều lý do để phương trình chưa đúng).

Phương trình (19) là rất tổng quát và biểu diễn quy tắc biến đổi cho các vectơ phản biến[5]. Về cơ bản, bốn phương trình trong (19) cho chúng ta cách tính các thành phần tọa độ của vectơ V {\displaystyle \mathbf {V} } trong hệ tọa độ { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}} một khi chúng ta biết các thành phần của nó trong hệ tọa độ { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}} .

Chúng ta có thể mở rộng biểu thức (19) cho trường hợp biến đổi tọa độ tổ hợp, tức là khi xét hai hệ tọa độ: biến đổi hệ tọa độ thứ nhất từ hệ { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}} thành { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}} và sau đó chuyển sang { x μ ″ } {\displaystyle \{x^{\mu ''}\}} hay

và coi đó như là một lần biến đổi

do vậy vectơ (phản biến) sẽ biến đổi theo quy tắc

Như đã nói ở phần trước, chúng ta có thể viết ra phép biển đổi ngược của (1.19) là

Bốn phương trình (23) cho chúng ta cách tính thành phần tọa độ của vec tơ V {\displaystyle \mathbf {V} } trong hệ { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}} một khi đã biết các thành phần của nó trong hệ { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}} . Rõ ràng là hai ma trận biến đổi của hai phép biến đổi ngược là ma trận nghịch đảo của nhau, hay

Điều này cũng đúng cho phép biến đổi ngược lại

Chú ý rằng cả hai phương trình (24) và (25) là tương đương với Jacobian của biến đổi khác 0,

Đại lượng δ ν μ {\displaystyle \delta _{\nu }^{\mu }} được gọi là ký hiệu Kronecker.

Ở phần này, chúng ta đã giới thiệu một tập hợp tổng quát chứa các điểm được liên hệ với nhau thông qua một tham số, hay đường cong trong đa tạp, sau đó nêu ra định nghĩa khái niệm vectơ tiếp tuyến tại một điểm P và học được cách biểu diễn đại lượng hình học này biến đổi như thế nào dưới những hệ tọa độ khác nhau. Điều này dẫn chúng ta tới một khái niệm tổng quát hơn đó là không gian tiếp tuyến của đa tạp M {\displaystyle {\mathcal {M}}} tại điểm P: đó là không gian chứa mọi vectơ phản biến tại P.

Gradien của hàm số

Một vec tơ bất kỳ có thể được xây dựng dựa trên khái niệm đường cong. Chúng ta có thể thấy điều này bằng cách áp dụng định nghĩa (11) của đường cong C {\displaystyle {\mathcal {C}}} trong đa tạp và giới thiệu ra hàm vô hướng ϕ {\displaystyle \phi } , một hàm giá trị thực ánh xạ điểm P bất kỳ có tọa độ x μ ( λ ) {\displaystyle x^{\mu }(\lambda )} trong M {\displaystyle {\mathcal {M}}} vào một số thực ϕ ( x m u ( λ ) ) | P {\displaystyle \phi (x^{m}u(\lambda )){\Big |}_{P}} . Bây giờ chúng ta có thể tính được hàm thực này biến đổi như thế nào dọc đường cong C {\displaystyle {\mathcal {C}}} bằng[6]

Phương trình thứ hai trong phương trình (27) chỉ đơn giản là định nghĩa của vectơ tiếp tuyến đã gặp ở (16), trong khi ở phương trình thứ ba là định nghĩa của gradien của hàm số ϕ {\displaystyle \phi }

với chỉ số tự do phải là chỉ số nằm ở dưới (tức là hiệp biến) và đây là đặc điểm phân biệt với vectơ U μ {\displaystyle U^{\mu }} .

Để hiểu tốt hơn tại sao chỉ số trong U μ {\displaystyle U_{\mu }} phải ở dưới, chúng ta có thể nghiên cứu cách đối tượng hình học này hành xử dưới một phép biến đổi tọa độ và làm rõ ý nghĩa của nó hơn. Một lần nữa, nếu U μ {\displaystyle U_{\mu }} là thành phần của đối tượng này trong hệ tọa độ { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}} thì thành phần của nó trong { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}} là

Hay nói cách khác, quy tắc biến đổi cho gradien của hàm số ϕ {\displaystyle \phi } là

và có thể được sử dụng làm định nghĩa cho khái niệm vectơ hiệp biến (covariant vector).

Chú ý rằng biến đổi (30) là biến đổi ngược của quy tắc đã gặp cho các thành phần của vectơ [xem phương trình (19)]. Lý do cho điều này đến từ thực tế rằng vectơ phản biến và vectơ hiệp biến là đại lượng đối ngẫu của nhau, do đó không gian chứa mọi vectơ hiệp biến là không gian đối ngẫu của không gian tiếp tuyến mà chúng ta đã gặp ở phần trước.[7] Bởi vì đây là một kết quả quan trọng và mối liên hệ sâu sắc giữa vectơ hiệp biến và vectơ phản biến sẽ được trình bày rõ ở phần sau. Như đối với vectơ phản biến, chúng ta có thể đưa ra biến đổi ngược cho vectơ hiệp biến và dễ dàng thu được

Người đọc thận trọng có thể tự hỏi tại sao chúng ta không viết (30) như sau

và tại sao không viết (31) như sau

Lý do đằng sau sự lựa chọn này là ở cách ký hiệu ma trận theo cách viết trong (32) và (33) có thể sẽ gây ra sự nhầm lẫn một khi chúng ta coi Λ μ ′ μ {\displaystyle \Lambda _{\mu '}^{\mu }} giống như ở trong phương trình (23). Điều này sẽ trở lên rõ ràng nếu chúng ta quay trở lại ví dụ về biến đổi tọa độ miêu tả ở trong phần Hệ tọa độ. Quả thực, khi chúng ta biến đổi gradien của một vô hướng từ tọa độ ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} sang ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} , ma trận đúng viết trong (32) mà nhân với vectơ cột d ~ ϕ ) μ {\displaystyle {\tilde {d}}\phi )_{\mu }} phải là

mà chính là ma trận chuyển vị của ma trận được định nghĩa trong (10).

Ở những phần sau, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu Λ μ ′ μ {\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\mu }} đại diện cho ∂ x μ ′ / ∂ x μ {\displaystyle \partial x^{\mu '}/\partial x^{\mu }} và Λ μ μ ′ {\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\mu '}} đại diện cho ∂ x μ / ∂ x μ ′ {\displaystyle \partial x^{\mu }/\partial x^{\mu '}} .

Ý nghĩa hình học của vectơ phản biến và vectơ hiệp biến

Chúng ta có thể kết hợp các định nghĩa trên đây để đi đến một miêu tả thống nhất về vectơ phản biến và vectơ hiệp biến. Đặc biệt, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa gradien dọc một đường cong (27) và viết lại thành

do đó vectơ phản biến V {\displaystyle \mathbf {V} } có thể được coi như là một đối tượng hình học tiếp tuyến với đường cong có tham số λ {\displaystyle \lambda } và đo tỉ số d ϕ / d λ {\displaystyle {d\phi }/{d\lambda }} cho một hàm vô hướng bất kỳ ϕ {\displaystyle \phi } dọc đường cong. Theo cách này, có thể coi vectơ là đại lượng độc lập với hệ tọa độ, và xác định lên, ít nhất trong một miền lân cận nhất định, đường cong mà nó tiếp xúc. Thành phần phản biến V μ {\displaystyle V^{\mu }} của nó cho phép đo sự thay đổi của hệ tọa độ dọc theo đường cong đó và những thứ này có mối liên hệ chặt với cách lựa chọn hệ tọa độ; một hệ tọa độ khác sẽ dẫn tới những thành phần tọa độ khác, cũng như hàm gradien ( d ~ ϕ ) μ {\displaystyle ({\tilde {d}}\phi )_{\mu }} khác.

Tất nhiên, chúng ta có thể thực hiện mà không cần hàm vô hướng ϕ {\displaystyle \phi } trong (1.35) và coi vectơ như là một đối tượng xác định bằng

mà chúng ta đưa ra ký hiệu

để chỉ bốn vectơ cơ sở { e μ } {\displaystyle \{e_{\mu }\}} dọc theo hướng xác định bởi tọa độ { x μ } {\displaystyle \{x_{\mu }\}} [9] Những cơ sở vectơ này, mà có liên hệ chặt với hệ tọa độ đang áp dụng, được gọi là tọa độ cơ sở. Theo cách này, biểu thức (36) nói một cách đơn giản rằng V {\displaystyle \mathbf {V} } là tổ hợp của các thành phần phản biến V μ {\displaystyle V^{\mu }} dọc theo hướng tọa độ.

Định nghĩa vectơ theo phương trình (36) mang bản chất hình học của vectơ và có vẻ rất khác thường. Nhưng thực ra nếu xem xét kỹ, khi coi đa tạp ba chiều đi kèm với đạo hàm theo hướng (directional derivative) { ∂ / ∂ x i } {\displaystyle \{{\boldsymbol {\partial }}/{{\boldsymbol {\partial x}}^{i}}\}} với cơ sở vectơ { e i } {\displaystyle \{e_{i}\}} của giải tích vectơ cổ điển, khi đó rõ ràng rằng vectơ trong (36) lại được biểu diễn trùng với hệ ba vectơ ba chiều, tức là

khi V → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {V} }}} được biểu diễn trong hệ tọa độ DeCartes (phương trình thứ hai) và trong hệ tọa độ cầu (phương trình thứ ba) hoặc trong bất kỳ cơ sở tọa độ nào. Cách nhìn mới về vec tơ này cũng hữu ích khi mở ra cách nhìn mới về đối vectơ hay một dạng một (covector, one form). Quả vậy, chúng ta có thể quay trở lại định nghĩa trong (35) và xét tới vectơ hiệp biến d ~ {\displaystyle {\boldsymbol {\tilde {d}}}} như là một toán tử d ~ ( . ) {\displaystyle {\boldsymbol {{\tilde {d}}(.)}}} tác dụng lên vectơ sao cho khi áp dụng đối với vectơ V {\displaystyle \mathbf {V} } nó trả lại một số thực,[10] nghĩa là

Khi coi là một toán tử tác dụng lên vectơ, đối vec tơ là một toán tử tuyến tính tức là

với a, b là các hệ số hằng số. Ngoài ra, nó còn tuân theo luật phân phối

Cách giải thích hình học này đã thực sự thống nhất các khái niệm vectơ và đối vectơ (dạng một, one form). Theo cách này, một vec tơ V {\displaystyle \mathbf {V} } xác định lên đường cong mà nó tiếp tuyến với, trong dạng một d ~ {\displaystyle {\tilde {d}}} xác định gradien của một hàm vô hướng dọc cùng cung đó. Hơn nữa, dạng một tác dụng lên vectơ tạo ra một số độc lập với tọa độ và do vậy là bất biến tương đối tính. Tính chất quan trọng này được chứng minh bắt đầu bằng định nghĩa (39) khi viết trong hệ tọa độ mới { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}}

Tính chất bất biến này cũng áp dụng cho định nghĩa (36) của vectơ và cho phép chúng ta suy ra quy tắc biến đổi của cơ sở vectơ

do đó, gộp các thành phần của vectơ V {\displaystyle \mathbf {V} } ta được

Vì thế, đối với mọi vectơ không tầm thường ta có

Mặc dù biểu thức (45) không phải là phương trình biến đổi cho thành phần tọa độ, nhưng chúng ta nhận ra ngay lập tức sự tương tự giữa (45) và quy tắc biến đổi cho thành phần của đối vectơ trong (32). Vì vậy có thể nói rằng cơ sở vectơ biến đổi theo quy tắc giống như các thành phần của đối vectơ biến đổi và theo "cách ngược lại" với thành phần của vectơ. Chú ý rằng chữ "ngược" trong dấu hai phẩy vì nếu ta đọc biến đổi vectơ cơ sở trong (45) như là biểu diễn ma trận của sự thay đổi cơ sở, thì biểu diễn ma trận tương ứng trong (19) chấp nhận nghịch đảo của ma trận chuyển vị sử dụng trong (45) chứ không phải nghịch đảo của ma trận này (xem ở phần Gradien của hàm số).

Cuối cùng, khi đã giới thiệu định nghĩa cơ sở vectơ, sẽ tự nhiên khi đặt ra câu hỏi về định nghĩa cơ sở của đối vectơ do vectơ và đối vectơ (hay dạng một) là những đại lượng đối ngẫu, nghĩa là

do đó một cơ sở vectơ { e ν } {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{\nu }\}} sinh ra một cơ sở đối vectơ { ω ~ μ } {\displaystyle \{{\boldsymbol {{\tilde {\omega }}^{\mu }}}\}} , và bất kỳ một đối vectơ p ~ {\displaystyle {\boldsymbol {\tilde {p}}}} có thể biểu diễn theo các thành phần của nó

Để chứng minh (46) là đúng, chúng ta có thể sử dụng (36) và (47) để nhận được

Tenxơ

Định nghĩa của vectơ và đối vectơ đã giới thiệu ở phần trước là cơ sở cho nội dung của phần này. Chúng đã được giới thiệu để xác định các đối tượng hình học độc lập với bất kỳ hệ tọa độ nào và chúng ta đã học được rằng khi đưa ra một hệ tọa độ và chuyển đổi sang hệ tọa độ khác, các vectơ phản biến và vectơ hiệp biến biến đổi theo những quy tắc đơn giản trong (19) và (30).

Có ít nhất hai khía cạnh của vec tơ (hoặc đối với vectơ phản biến hoặc hiệp biến) mà khá rõ ràng. Thứ nhất đó là chúng ta không nhất thiết phải giới hạn định nghĩa vectơ tại một điểm. Mặt khác chúng ta có thể nghĩ tới toàn bộ miền của đa tạp M {\displaystyle {\mathcal {M}}} và thông qua một hàm trơn khả vi chúng ta gắn mỗi vectơ tại mỗi điểm của miền này, qua đó định nghĩa lên trường vectơ

với V μ ( P ) , U μ ( P ) {\displaystyle V^{\mu }(P),U_{\mu }(P)} là giá trị của trường tại điểm P. Hơn nữa, trường vectơ được nói là khả vi nếu các thành phần của nó là những hàm tọa độ khả vi trong mọi hệ tọa độ. Khía cạnh thứ hai đó là vectơ chỉ là thành phần đơn giản nhất của một lớp đối tượng hình học tổng quát hơn gọi là tenxơ. Cũng như đối vectơ hiệp biến và vectơ phản biến, ten xơ có thể coi như là những đối tượng hình học mà được xác định hoàn toàn theo những tính chất dưới một phép biến đổi tọa độ.

Nhất quán với cách tiếp cận này, chúng ta định nghĩa một tenxơ phản biến hạng hai là một đối tượng hình học T {\displaystyle \mathbb {T} } , mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}} sang hệ mới { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}} [11]

Tương tự chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng hai là một đối tượng hình học T {\displaystyle \mathbb {T} } , mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}} sang hệ { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}} [12]

Nếu hệ tọa độ là thông thường, cả hai biểu thức (50) và (51) sẽ thừa nhận phép biến đổi ngược và có thể suy ra trực tiếp dựa trên các biểu thức (23) và (31). Một cách tự nhiên, chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hỗn hợp là một đối tượng hình học có cả thành phần hiệp biến và phản biến. Do vậy, ví dụ, chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hỗn hợp loại (4,2) (tức là nó có bốn thành phần phản biến và hai thành phần hiệp biến) R α β γ δ μ ν {\displaystyle R^{\alpha \beta \gamma \delta }{}_{\mu \nu }} mà quy tắc biến đổi khi chuyển từ hệ tọa độ { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}} sang hệ { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}} là[13]

và biến đổi ngược sẽ là

Từ hai ví dụ trên sẽ không khó để hình dung ra cách xây dựng một tenxơ với số thành phần phản biến và hiệp biến là bất kỳ. Chúng ta có thể xây dựng lên không gian vectơ V m n {\displaystyle \mathbf {V} ^{m}{}_{n}} là tập hợp mọi tenxơ kiểu (m, n), ví dụ R α β γ δ μ ν ∈ V 4 2 {\displaystyle R^{\alpha \beta \gamma \delta }{}_{\mu \nu }\in \mathbf {V} ^{4}{}_{2}} .

Giờ đây chúng ta có thể coi vectơ và đối vectơ như là những tenxơ kiểu đặc biệt (lần lượt là kiểu (1, 0) và (0, 1)). Viết tenxơ theo các cơ sở vectơ (36) và cơ sở đối vectơ (47) để biểu diễn một tenxơ hỗn hợp như là đối tượng hình học độc lập với hệ tọa độ. Ví dụ đối với tenxơ hỗn hợp loại (1, 1) là

với ký hiệu ⊗ {\displaystyle \otimes } là tích tenxơ. Chú ý rằng tích này không có tính giao hoán, tức là e μ ⊗ ω ~ ν ≠ ω ~ ν ⊗ e μ {\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }\otimes {\mathbf {\tilde {\omega }} }^{\nu }\neq {\mathbf {\tilde {\omega }} }^{\nu }\otimes \mathbf {e} _{\mu }} . Do vậy, hai tenxơ R = R μ ν e μ ⊗ ω ~ ν {\displaystyle \mathbf {R} =R^{\mu }{}_{\nu }\mathbf {e} _{\mu }\otimes {\mathbf {\tilde {\omega }} }^{\nu }} và R ~ = R ~ ν μ ω ~ ν ⊗ e μ {\displaystyle \mathbf {\tilde {R}} ={\tilde {R}}_{\nu }{}^{\mu }{\mathbf {\tilde {\omega }} }^{\nu }\otimes \mathbf {e} _{\mu }} là hai tenxơ khác nhau.

Tương tự như đối với vectơ, chúng ta có thể định nghĩa trường tenxơ bằng cách gán cho mỗi tenxơ kiểu (m, n) vào từng điểm P

với V α β . . . μ ν . . . ( P ) {\displaystyle V^{\alpha \beta ...}{}_{\mu \nu ...}(P)} là giá trị của trường tenxơ tại P. Cũng vậy, trường tenxơ được nói là khả vi nếu các thành phần của nó là những hàm tọa độ khả vi trong mọi hệ tọa độ. Kể từ đây, chúng ta luôn luôn ám chỉ đến trường tenxơ mặc dù đôi khi chỉ viết ngắn gọn là tenxơ.

Nói chung, nếu một tenxơ có N chỉ số xác định trên đa tạp có D chiều, thì nó sẽ có D N {\displaystyle D^{N}} thành phần. Do vậy, trong đa tạp bốn chiều mà chúng ta quan tâm, chúng ta có thể coi tenxơ là những ma trận có 4, 16, 64, 256 thành phần tương ứng với các ten xơ có 1, 2, 3, và 4 chỉ số. Có thể xảy ra trường hợp những thành phần này không độc lập hoàn toàn với nhau, như sẽ nêu ở phần dưới.

Tóm lược lại phần này:

Đại số tenxơ

Khi sử dụng thuyết tương đối rộng không thể tránh gặp phải những tính toán với sự có mặt của tenxơ và do vậy việc làm quen với các tính toán cơ bản của đại số tenxơ là điều cần thiết, và cuối cùng chúng ta đi tới giải tích tenxơ trong phần Không thời gian cong trong thuyết tương đối rộng. Bên cạnh những tính chất tuyến tính đã gặp ở đối vectơ hay dạng một (covector, one form) trong (39) mà đã được mở rộng thông thường khi coi vectơ V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} và dạng một d ~ ϕ {\displaystyle {\boldsymbol {\tilde {d}}}\phi } là những tenxơ. Chúng ta liệt kê dưới đây một số tính chất quan trọng nhất của tenxơ cũng như các phép toán liên quan:

1. Tenxơ không: Nếu một ten xơ mà mọi thành phần của nó bằng 0 trong một hệ tọa độ, thì nó là tenxơ không và các thành phần của nó sẽ bằng 0 trong mọi hệ tọa độ.
2. Tenxơ đồng nhất bằng nhau: Nếu hai ten xơ cùng loại mà mọi thành phần của chúng tương ứng bằng nhau trong một hệ tọa độ, thì chúng được nói là đồng nhất bằng nhau, và các thành phần sẽ tương ứng bằng nhau trong mọi hệ tọa độ.
3. Hàm vô hướng: Tích của một trường vô hướng φ với một tenxơ có kiểu cho trước sẽ thu được một tenxơ có cùng kiểu, tức là nếu X ∈ V n m {\displaystyle {\boldsymbol {X}}\in {\boldsymbol {V}}_{n}^{m}} và Y := X ϕ {\displaystyle {\boldsymbol {Y}}:={\boldsymbol {X}}\phi } thì Y ∈ V n m {\displaystyle {\boldsymbol {Y}}\in {\boldsymbol {V}}_{n}^{m}} .
4. Phép cộng: Khi cộng hai tenxơ cùng kiểu sẽ thu được một tenxơ cùng kiểu, nếu X , Y ∈ V n m {\displaystyle {\boldsymbol {X,Y}}\in {\boldsymbol {V}}_{n}^{m}} thì Z := X + Y ∈ V n m {\displaystyle {\boldsymbol {Z:=X+Y}}\in {\boldsymbol {V}}_{n}^{m}} .
5. Phép nhân: Khi nhân hai tenxơ có kiểu bất kỳ sẽ thu được một tenxơ có kiểu bằng tổng các kiểu tương ứng (tức là tổng các chỉ số phản biến và hiệp biến), hay còn gọi là tích ngoài của tenxơ, nếu X ∈ V n m {\displaystyle {\boldsymbol {X}}\in {\boldsymbol {V}}_{n}^{m}} và Y ∈ V q p {\displaystyle {\boldsymbol {Y}}\in {\boldsymbol {V}}_{q}^{p}} thì Z := X ⊗ Y {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}:={\boldsymbol {X}}\otimes {\boldsymbol {Y}}} khi đó Z ∈ V n + q m + p {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}\in {\boldsymbol {V}}_{n+q}^{m+p}} . Sử dụng ký hiệu thành phần, với m=q=2 và n=p=1 thì Z α β γ λ μ ν = X α β λ Y γ μ ν {\displaystyle Z^{\alpha \beta \gamma }{}_{\lambda \mu \nu }=X^{\alpha \beta }{}_{\lambda }Y^{\gamma }{}_{\mu \nu }} .
6. Rút gọn tenxơ: Thực hiện thu gọn một cặp chỉ số của tenxơ kiểu (m, n) thu được tenxơ kiểu mới (m-1, n-1) tức là Z α β γ γ μ ν = Z α β μ ν {\displaystyle Z^{\alpha \beta \gamma }{}_{\gamma \mu \nu }=Z^{\alpha \beta }{}_{\mu \nu }} .
7. Tenxơ đối xứng và phản xứng: Một tenxơ kiểu (m, n) được nói là đối xứng trên một cặp chỉ số bất kỳ p và q (hoặc là hiệp biến hoặc là phản biến) nếu các thành phần của nó không thay đổi khi thay đổi hai chỉ số này cho nhau. Ngược lại, ten xơ là phản xứng nếu nó đổi dấu khi thay đổi hai cặp chỉ số này cho nhau. Ví dụ đối với m = 0 và n = 2,

Theo kết quả của (56) và (57) có thể xây dựng một tenxơ đối xứng hoặc phản xứng bằng một tenxơ bất kỳ

với các dấu ngoặc tròn và ngoặc vuông ký hiệu cho tương ứng tenxơ đối xứng và tenxơ phản xứng. Và hệ quả rõ ràng từ (58) đó là một tenxơ bất kỳ luôn luôn có thể phân tích ra thành tổng của tenxơ đối xứng và tenxơ phản xứng

Biểu thức (58) có thể mở rộng ra cho ten xơ có kiểu bất kỳ, ví dụ ten xơ đối xứng và ten xơ phản xứng hiệp biến kiểu (0,3) có thể viết dưới dạng tổng của các ten xơ có chỉ số hoán vị của nó:

Những tính chất cuối này cho phép chúng ta đưa ra khái niệm tenxơ Levi-Civita, nó là mở rộng bốn chiều của ký hiệu Levi-Civita ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{i}jk} . Cụ thể, đối với một tenxơ g[15] loại (0, 2) và với định thức g, g := d e t ( g μ ν ) {\displaystyle g:=det(g_{\mu \nu })} , chúng ta định nghĩa tenxơ Levi-Civita là[16]

với η α β γ δ {\displaystyle \eta _{\alpha \beta \gamma \delta }} là ký hiệu phản xứng toàn phần định nghĩa bởi[17]

Thêm vào đó, khi thực hiện thu gọn tenxơ Levi-Civita chúng ta có tenxơ hoán vị

mà ten xơ hoán vị chính là mở rộng của ký hiệu Kronecker δ β α {\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }} tức là,

Tại sao chúng ta phải sử dụng tenxơ và đại số tenxơ đối với thuyết tương đối rộng? Bởi vì trong vật lý học nói chung và thuyết tương đối nói riêng, các nhà vật lý quan tâm tới định nghĩa và xác định các đại lượng độc lập với lựa chọn hệ tọa độ cụ thể sử dụng để phủ đa tạp. Chúng ta đã thấy các thành phần của tenxơ rất phụ thuộc vào hệ tọa độ, nhưng tenxơ và quan trọng nhất là phương trình tenxơ lại không phụ thuộc vào hệ tọa độ. Ví dụ, chúng ta xét phương trình tenxơ sau đây trong hệ tọa độ { x μ } {\displaystyle \{x^{\mu }\}}

với k là hằng số và ta có thể coi G ν μ {\displaystyle G_{\nu }^{\mu }} như là một toán tử vi phân biểu diễn dưới dạng thành phần tenxơ. Để thu được phương trình (70) trong hệ tọa độ { x μ ′ } {\displaystyle \{x^{\mu '}\}} ta sử dụng trực tiếp về biến đổi tọa độ cho mỗi vế của phương trình (1.70)

khi nhóm thừa số chung lại ta có

Vì phương trình (72) phải đúng trong mọi hệ tọa độ, do vậy phải có

mà nó có dạng giống hệt với phương trình (70). Hay phương trình tenxơ được nói là hiệp biến theo nghĩa chúng có cùng dạng trong mọi hệ tọa độ. Kết quả là nếu chúng đúng (hay thỏa mãn) trong một hệ tọa độ, thì chúng cũng đúng trong mọi hệ tọa độ. Tính hiệp biến của phương trình tenxơ thể hiện một tính chất rất quan trọng của tenxơ và có nguồn gốc rất sâu sắc từ thuyết tương đối rộng.

Tenxơ quan trọng nhất: Tenxơ metric

Chúng ta vẫn chưa nói tới vấn đề làm thế nào để tính tích vô hướng giữa hai vectơ và đo được độ lớn của một vectơ. Cả hai phép toán tích vô hướng và tìm mô đun độ lớn đòi hỏi đa tạp không thời gian được trang bị một toán tử g, đó là ten xơ đối xứng hạng 2 hay kiểu (0, 2), mà khi nó tác dụng lên hai vectơ, U , V {\displaystyle \mathbf {U,V} } thì chúng ta thu được một số

Biểu thức trên chính là định nghĩa của tích vô hướng hai vectơ, và khi tích này bằng 0 ta nói hai vectơ trực giao với nhau. Theo cách tương tự đã chứng minh hàm d ~ ( V ) {\displaystyle \mathbf {{\tilde {d}}(V)} } là không phụ thuộc hệ tọa độ (phương trình (42)), chúng ta có thể chứng minh tích vô hướng cũng là một đại lượng bất biến, tức là g μ ′ ν ′ U μ ′ V ν ′ = g μ ν U μ V ν {\displaystyle g_{\mu '\nu '}U^{\mu '}V^{\nu '}=g_{\mu \nu }U^{\mu }V^{\nu }} . Định nghĩa mô đun độ lớn (hay độ dài) của một vectơ bất kỳ chính là trường hợp đặc biệt của (74) và tương ứng với tích vô hướng của chính nó,

Bây giờ chúng ta có thể quay trở lại phần Đa tạp không thời gian và coi không thời gian như là đa tạp M {\displaystyle {\mathcal {M}}} mà trên đó phủ một số hệ tọa độ. Khi có hai sự kiện P tại { x μ } P {\displaystyle \{x^{\mu }\}_{P}} và Q tại { x μ } Q {\displaystyle \{x^{\mu }\}_{Q}} trên M {\displaystyle {\mathcal {M}}} , chúng ta mong muốn đo được bình phương khoảng không thời gian vô cùng bé (hay yếu tố đoạn-line element), ds2, theo vectơ dời chỗ vô cùng bé dx mà các thành phần của nó chính là d x μ := { x μ } P − { x μ } Q {\displaystyle dx^{\mu }:=\{x^{\mu }\}_{P}-\{x^{\mu }\}_{Q}} . Khoảng cách này chính là tích vô hướng của hai vectơ và là đại lượng độc lập với hệ tọa độ

Bởi vì có vai trò trong đo khoảng cách như ở phương trình (76) tenxơ đối xứng g thường được gọi là tenxơ metric (hay chỉ đơn giản là metric) và nó là tenxơ quan trọng nhất trong thuyết tương đối tổng quát. Dấu của tenxơ metric được định nghĩa bằng số giá trị riêng dương, âm hay bằng 0 của metric.

Khi đã lựa chọn hệ tọa độ để định vị và xếp thứ tự các sự kiện trong không thời gian, tenxơ metric cho phép chúng ta đo được khoảng cách giữa các sự kiện và do đó thực hiện được những phép đo vật lý. Trong khi biểu thức (76) chỉ giới hạn ở khoảng cách vô cùng bé, chúng ta có thể mở rộng nó ra cho khoảng cách hữu hạn và khoảng cách riêng giữa hai sự kiện nối với nhau bằng cung C {\displaystyle {\mathcal {C}}} bằng

Chúng ta có thể dễ dàng nhận ra biểu thức (76) rất giống với định lý Pythagoras áp dụng cho không thời gian khác với không gian Euclid. Để rõ hơn, lấy ví dụ về khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong không gian ba chiều theo các hệ tọa độ khác nhau

Ba biểu thức trên biểu diễn cùng một khoảng cách (tức là chúng thu được cùng một số) và xuất hiện trông khác nhau bởi vì chúng được viết ra trong ba hệ tọa độ khác nhau, lần lượt là hệ tọa độ Descartes ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} ; hệ tọa độ trụ ( ρ , ϕ , z ) {\displaystyle (\rho ,\phi ,z)} và hệ tọa độ cầu ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} . Rõ ràng đối với mỗi hệ tọa độ, tenxơ metric sẽ có dạng lần lượt g i j = d i a g ( 1 , 1 , 1 ) ; g i j = d i a g ( 1 , ρ 2 , 1 ) ; g i j = d i a g ( 1 , r 2 , r 2 s i n 2 θ ) {\displaystyle g_{ij}=diag(1,1,1)\quad ;\quad g_{ij}=diag(1,\rho ^{2},1)\quad ;\quad g_{ij}=diag(1,r^{2},r^{2}sin^{2}\theta )} . Chúng ta cũng thấy rằng hệ tọa độ Descartes có metric dạng đơn giản nhất và viết tương đương thành g μ ν = δ μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }} .

Định thức của tenxơ metric ký hiệu bằng g := d e t ( g μ ν ) {\displaystyle g:=det(g_{\mu \nu })} và chúng ta sử dụng nó để tính yếu tố thể tích riêng (proper volume element) khi tích phân trên miền không gian bốn chiều giới hạn bởi siêu mặt ∑

Hơn nữa metric là không kỳ dị khi và chỉ khi g ≠ 0 {\displaystyle g\neq 0} khắp nơi đối với ánh xạ. Trong trường hợp này g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} có nghịch đảo g μ ν {\displaystyle g^{\mu \nu }} sao cho

Tính chất (82) cho phép chúng ta thực hiện nâng và hạ chỉ số của tenxơ bằng cách thu gọn tenxơ với tenxơ metric hoặc nghịch đảo của nó. Trong phép toán này, chỉ số được thu gọn (hay chỉ số câm) bị triệt tiêu và các chỉ số còn lại của tenxơ metric hoặc là hạ thấp (khi metric được sử dụng trong phép thu gọn) hoặc được nâng lên (trong trường hợp metric nghịch đảo được sử dụng). Ví dụ, đối với tenxơ T loại (2, 2) phép thu gọn nó với metric và metric nghịch đảo là

hoặc tổng quát hơn đối với ten xơ bất kỳ

Hai trường hợp đặc biệt đối với thu gọn ten xơ bằng ten xơ metric đó là đối với ten xơ hạng hai, khi kết quả thu gọn hoặc là dẫn tới vết nếu ten xơ đối xứng, hoặc bằng 0 nếu ten xơ phản xứng[18]

Tính chất nâng và hạ chỉ số không chỉ là cách thuận tiện khi làm việc với đại số ten xơ mà còn là một cách để chứng tỏ ten xơ metric có thể được sử dụng để ánh xạ vectơ vào dạng một. Để thấy điều này, ta hãy xem lại phương trình (74) và coi metric như là một toán tử tác động lên hai vectơ. Hơn nữa, nếu cố định một vec tơ, U chẳng hạn, và coi nó như là một toán tử khi tác động lên một vectơ sẽ thu được một số (hay vô hướng)

mà ở cặp phương trình đầu tiên nhấn mạnh vào tính đối xứng của toán tử khi chúng ta có kết quả như nhau nếu "điền vào" dấu chấm một vectơ. Và khi cặp phương trình thứ nhất và cặp phương trình thứ hai tác động lên một vec tơ V sẽ cho cùng một kết quả

Về cơ bản phương trình (86) nói rằng ten xơ metric có thể dùng để ánh xạ một vec tơ U vào một đối vec tơ (hay dạng một) Ũ mà các thành phần sẽ là Uμ. Tương tự, nghịch đảo của metric g−1 sẽ cho ánh xạ từ đối vectơ vào vectơ, do đó hoàn thiện bức tranh đầy đủ về tính đối ngẫu giữa vectơ và dạng một. Ngoài ý nghĩa của tenxơ metric như đã nêu, chúng ta có thể viết lại tích vô hướng dưới đây

và viết lại thành

Hay nói cách khác, các thành phần của metric trong một hệ tọa độ biểu diễn tích vô hướng của các vectơ cơ sở của hệ đó. Đặc biệt, nếu hệ vectơ cơ sở thỏa mãn | e μ . e ν | = δ μ ν {\displaystyle |{\boldsymbol {e}}_{\mu }.{\boldsymbol {e}}_{\nu }|=\delta _{\mu \nu }} thì hệ cơ sở này được gọi là hệ cơ sở trực chuẩn.

Tách một tenxơ thông qua vectơ

Một tính chất hữu ích của đại số tenxơ mà có thể áp dụng cho các phương trình vật lý đó là chúng ta có thể tách một tenxơ hạng 2 theo hướng song song và vuông góc với một vectơ. Xét một trường vec tơ U mà có trực chuẩn U.U = -1 và định nghĩa toán tử chiếu (hay tenxơ chiếu) h trực giao với U như là một tenxơ với các thành phần

mà nó thỏa mãn những đẳng thức sau đây

Với toán tử này chúng ta có thể tách một trường vectơ V thành các phần song song với U và trực giao với U, nghĩa là

với số hạng A = − U μ V μ {\displaystyle A=-U_{\mu }V^{\mu }} là thành phần của V dọc theo U, trong khi số hạng B μ = h μ ν V ν {\displaystyle B^{\mu }=h^{\mu }{}_{\nu }V^{\nu }} là thành phần của V trong không gian trực giao với U. Tương tự, có thể tách một tenxơ hiệp biến hạng 2 W bằng cách sử dụng tenxơ chiếu trên từng thành phần c]ủa nó, nhận được

với

Có thể phân tích Z μ ν {\displaystyle Z_{\mu \nu }} thành các phần đối xứng và phản đối xứng như trong biểu thức (59) và có

với W ⟨ α β ⟩ {\displaystyle W_{\langle \alpha \beta \rangle }} trong phương trình (96) là thành phần không gian, đối xứng và vết tự do của tenxơ W, tức là:

Kết quả của phân tích (93) có thể viết thành dạng không khả quy là

Mặc dù chúng ta vẫn chưa giới thiệu ra công cụ toán học cần thiết để tính đạo hàm theo cách không bị phụ thuộc vào hệ tọa độ (theo nghĩa hiệp biến), chúng ta vẫn có đủ công cụ toán học để miêu tả không thời gian bốn chiều đơn giản nhất, không thời gian phẳng.